SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 15

Soal

Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1. Titik K dan L berturut-turut terletak pada segmen garis BC dan DC sehingga keliling dari ΔKCL adalah 2. Luas minimum dari ΔAKL adalah ....

Pembahasan


SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 14

Soal

Diberikan barisan {a_n} dan {b_n} dengan a_n = 1 / n√n dan bn = 1 / [(1 + 1/n) + (√(1 + 1/n))], untuk setiap bilangan asli n. Misalkan S_n = a₁b₁ + a₂b₂ + a_n . b_n, banyaknya bilangan asli dengan n ≤ 2016 sehingga S_n merupakan bilangan rasional adalah ....

Pembahasan



SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 13

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 13

Soal

Palindrom adalah bilangan yang sama dibaca dari depan atau dari belakang. Sebagai contoh 12321 dan 32223 merupakan palindrom. Palindrom 5 digit terbesar yang habis dibagi 303 adalah ....

Pembahasan

Salah satu faktor prima dari palindromnya adalah 101, jd palindromnya dapat dinyatakan sbg 

101*xyz = xyz00+xyz, dimana xyz adalah bilangan 3 digit, agar terbentuk palindrom maka x=z, 

dan x+z adalah digit ketiga dri palindrom, selanjutnya tinggal memilih nilai x,y, dan z terbesar 

dan bentuk xyz00+xyz kelipatan 3

xyz00

xyz

------+

xy..yz

nilai x=z maksimal yg dpt dipilih adalah 4. Agar bentuk xyz00+xyz hbs dibagi 3 maka 

x+y+x+z+y+z=16+2y hrs hbs dbagi 3, shg y terbesar yg dpt dipilih adalah 7. Jadi palindrom 5 

digit yg hbs dibagi 303 adalah 47874
SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 12

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 12

Soal

Bilangan real t sehingga terdapat dengan tunggal tripel bilangan real (x, y, z) yang memenuhi x² + 2y² = 3z dan x + y + z = t adalah ....

Pembahasan

x + y + z = t

3t = 3x + 3y + 3z


3t = 3x + 3y + x² + 2y² 


3t = (3x + x² ) + (3y + 2y²)


3t = (x + 3/2)^2 - 9/4 + 2(y + 3/4)^2 - 9/8


3t = (x + 3/2)^2 + 2(y + 3/4)^2 - 27/8



supaya Hp nya tunggal :


3t = -27/8


t = -9/8


SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 11

Soal

Segitiga ABC mempunyai panjang sisi AB = 20, AC = 21, dan BC = 29. Titik D dan E terletak pada segmen garis BC, dengan BD = 8 dan EC = 9. Besar ∠DAE adalah .... derajat

Pembahasan


SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 10

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 10

Soal

Misalkan n₁, n₂, n₃, ... bilangan-bilangan asli yang membentuk barisan aritmetika. Banyaknya nilai di himpunan {1, 2, 3, ..., 1000} yang mungkin menjadi nilai n_n₂ – n_n₁ adalah ....

Pembahasan

suku pertama = a

beda = b


n_n₂ – n_n₁ = n_(a+b) – n_a


= (a + (a+b - 1)b) - (a + (a-1)b)


= a + ab + b^2 - b - (a + ab - b)


= b^2

b^2 < 1000


b = 31
SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 9

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 9

Soal

Misalkan (a, b, c, d, e, f) adalah sebarang pengurutan dari (1, 2, 3, 4, 5, 6). Banyaknya pengurutan sehingga a + c + e > b + d + f adalah ....

Pembahasan

Tinjau paritas a+c+e tidak mungkin sama dg paritas b+d+e, sehingga ketaksamaan > dan < 

saja yang memenuhi. Sehingga banyaknya cara menyusun hal demikian adalah 6!/2=360..
SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 8

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 8

Soal

Anak laki-laki dan anak perempuan yang berjumlah 48 orang duduk melingkar secara acak. Banyak minimum anak perempuan sehingga pasti ada enam anak perempuan yang duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-laki adalah ...

Pembahasan

Atur kondisi ekstrim sebagai berikut : Kelompok 1 terdiri dari 5 anak perempuan di sebelah 

ada 1 orang anak laki-laki. Di sebelah anak laki-laki tersebut ada kelompok 2 yang terdiri dari 

5 anak perempuan. Di sebelah kelompok 2 ada 1 orang anak laki-laki. Di sebelah anak laki-

laki ada kelompok 3 yang terdiri dari 5 anak perempuan. Di sebelah kelompok 3 ada 1 orang 

anak laki-laki. Demikian seterusnya sehingga ada kelompok 8 yang terdiri dari 5 anak 

perempuan. Di sebelah kelompok 8 ada 1 orang anak laki-laki. Anak laki-laki tersebut juga 

akan bersebelahan dengan kelompok 1. Maka akan ada 8 kelompok yang masing-masing 

terdiri dari 5 anak perempuan dan duduk di selingi 1 anak laki-laki.


Banyak anak seluruh = 8 . 5 + 8 . 1 = 48 yang terdiri dari 40 anak perempuan dan 8 anak laki-

laki. Pada kondisi ini tidak ada 6 anak perempuan duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-

laki.
Jika satu anak laki-laki secara acak diganti dengan anak perempuan maka pasti ada 6 anak 

perempuan duduk berdekatan tanpa diselingi anak laki-laki.

Jadi, banyak minimum anak perempuan yang memenuhi adalah 41.
SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 7

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 7

Soal

Misalkan a adalah bilangan real sehingga polinomial p(x) = x⁴ + 4x + a habis dibagi oleh (x – c)² untuk suatu bilangan real c. Nilai a yang memenuhi adalah 

Pembahasan

Dengan menggunakan horner jika p(x) dibagi (x - c) akan didapat

Sisa = a + 4c + c^4 = 0


Hasil bagi = q(x) = x^3 + cx^2 + c^2 x + 4 + c^3


q(x) juga harus habis dibagi (x - c) maka


(c)^3 + c(c^2) + c^2(c) + 4 + c^3 = 0


Nilai c real yang memenuhi adalah c = -1


a + 4c + c^4 = 0


Karena c = -1 maka a = 3


Jadi, nilai a yang memenuhi adalah a = 3.
SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 6

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 6

Soal

Banyaknya bilangan asli n yang memenuhi sifat hasil jumlah n dan suatu pembagi positif n yang kurang dari n sama dengan 2016 adalah ....

Pembahasan

Misalkan k=n/p dengan k dan p adalah bilangan asli serta k < n. Maka p > 1.

Jelas bahwa k adalah faktor positif dari n.


n+k=2016


n+n/p=2016


n=2016p/(p+1)


Agar n bulat maka p+1 harus merupakan faktor positif dari 2016.


Banyaknya nilai n yang memenuhi sama dengan banyaknya nilai p+1 yang memenuhi.
2016 = 2^5 . 3^2 . 7


Banyaknya faktor positif dari 2016 = (5 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 36


Karena p > 1 maka p + 1 tidak mungkin bernilai 1 atau 2 yang juga merupakan faktor dari 2016.


Maka banyaknya nilai p+1 yang memenuhi ada 36 - 2 = 34.


Jadi, banyaknya bilangan asli n yang memenuhi adalah 34.

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 5

Soal

Pada segitiga ABC, titik-titik X, Y, dan Z berturut-turut terletak pada sinar BA, CB dan AC sehingga BX = 2BA, CY = 2CB, dan AZ = 2AC. Jika luas ΔABC adalah 1, maka luas ΔXYZ adalah ....

Pembahasan


SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 2

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 2

Soal

Rudi membuat bilangan asli dua digit. Probabilitas bahwa kedua digit bilangan tersebut merupakan bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 adalah ....

Pembahasan

n(s)=9.10=90

ab=> keduanya prima 


Nilai yg mungkin 2,3,5,7 


ab=7.n+3


10a+b=7.n+3

Substitusikan b=2


10a+2=7.n+3


10a=7.n+1


Nilai a yg mungkin 5


Substitusikan b=3


10a+3=7.n+3


10a=7.n


Nilai a yg mungkin 7


Substitusikan b=5


10a+5=7.n+3


10a=7.n-25


Tidak ada Nilai a yg mungkin 


Substitusikan b=7


10a+7=7.n+3


10a=7.n-4


Tidak ada Nilai a yg mungkin 


n(a)=2 [52 dan 73]


P=n(a)/n(s)


=2/90


=1/45
RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

RUANG SAMPEL DAN KEJADIAN

Dari dalam sebuah kaleng, akan diambil sebuah bola dari 7 bola yang sudah diberi nomor 1 sampai 7. Kemungkinan bola yang terambil adalah bola bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7. Kegiatan mengambil sebuah bola dari dalam keleng disebut sebagai sebuah percobaan, sedangkan himpunan semua kemungkinan bola yang terambil disebut ruang sampel. Ruang sampel terdiri dari beberapa anggota. Anggota dari ruang sampel disebut titik sampel. Ruang sampel biasanya disimbolkan dengan huruf S ( huruf S kapital). Dengan demikian, ruang sampel pada percobaan pengambilan sebuah bola dari dalam kaleng tersebut adalah:

                                                S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

        Hasil percobaan pengambilan bola di atas disebut sebagai kejadian atau peristiwa (event). Kejadian dibagi menjadi 2, yaitu:

1. Kejadian sederhana

Kejadian sederhana adalah suatu kejadian yang hanya mempunyai satu titik sampel. Pada percobaan mengambil sebuah bola dari dalam keleng di atas, contoh kejadian sederhana adalah:
{6} yaitu kejadian terambilnya bola bernomor 6
{7} yaitu kejadian terambilnya bola bernomor 7

2. Kejadian majemuk

Kejadian majemuk adalah suatu kejadian yang mempunyai titik sampel lebih dari satu. Pada percobaan mengambil sebuah bola dari dalam keleng di atas, contoh kejadian majemuk adalah:
{2, 4, 6} yaitu kejadian terambilnya bola bernomor genap
{1, 2} yaitu kejadian terambilnya bola bernomor kurang dari 3
        Pada umumnya, kejadian disimbolkan dengan huruf kapital, misalnya kejadian terambilnya bola bernomor ganjil, dapat dinyatakan dengan G = {1, 3, 5, 7} dan kejadian terambilnya bola bernomor kurang dari 4, dapat dinyatakan dengan H = {1, 2, 3}.
        Dari uraian di atas, dapat kita simpulkan beberapa definisi berikut ini.
Percobaan adalah kegiatan untuk memperoleh suatu hasil.
Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil percobaan.
Titik sampel adalah anggota ruang sampel.
Kejadian adalah himpunan satu atau beberapa titik sampel dan merupakan himpunan bagian dari ruang sampel.
        Berikut ini merupakan beberapa rumusan yang akan kalian gunakan dalam menentukan banyak titik sampel.
Aturan pemjumlahan : C₁ + C₂ + C₃ + Cn
Aturan perkalian : M₁ x M₂ x M₃ x … x Mn
Permutasi : 
Kombinasi : 
CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERMUTASI

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN PERMUTASI

Contoh 1

Berapa banyak cara menyusun 4 buku dari 6 buku yang berbeda ke dalam sebuah rak?
Penyelesaian:
Dari 6 buku akan dipilih 4 buku dengan memperhatikan urutannya sehingga membentuk susunan yang berbeda-beda.
Ini berarti:
n = banyak unsur seluruhnya = 6
k = banyak unsur yang disusun = 4
Banyak cara menyusun 4 buku dari 6 buku adalah permutasi 4 dari 6 atau 6P4.
Jadi, banyak cara menyusun 4 buku dari 6 buku yang berbeda adalah 360 cara.

Contoh 2

Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari huruf S, E, M, E, S, T, E, R?
Penyelesaian:
Pada kata “SEMESTER” terdapat huruf-huruf yang sama (banyaknya lebih dari satu).
Oleh karena itu, gunakan permutasi unsur yang sama untuk menentukan banyak susunan huruf yang berbeda.
n = total huruf = 8
m1 = banyak huruf “S” = 2
m2 = banyak huruf “E” = 3
m3 = banyak huruf “M” = 1
m4 = banyak huruf “T” = 1
m5 = banyak huruf “R” = 1
Jadi, banyak susunan huruf yang berbeda yang dapat dibentuk adalah 3.360 susunan.
PERMUTASI

PERMUTASI

Kasus bendera pada awal topik ini merupakan salah satu contoh permutasi. Permutasi (P) adalah penyusunan suatu himpunan dari elemen-elemennya dengan memperhatikan urutan.Ada beberapa jenis permutasi yaitu permutasi n unsur, permutasi k dari n unsur, permutasi unsur yang sama, dan permutasi siklis. Mari simak penjelasannya berikut ini.

Permutasi n Unsur

Misalkan di sebuah kelas terdapat 20 siswa dan 20 tempat duduk. Menurut aturan perkalian, untuk tempat duduk pertama ada 20 siswa yang bisa menempatinya, tempat duduk kedua ada 19 siswa yang bisa menempatinya karena 1 siswa telah menempati tempat duduk yang pertama. Tempat duduk ketiga ada 18 siswa yang bisa menempatinya karena 2 siswa sudah menempati tempat duduk sebelumnya, hingga pada tempat duduk terakhir hanya 1 siswa yang tersisa untuk menempatinya. Ini berarti, banyak cara 20 siswa duduk dengan susunan berbeda adalah:
20 × 19 × 18 × 17 × 16 × ... × 3 × 2 × 1 atau dapat ditulis 20! (dibaca: 20 faktorial).
Ini berarti, banyak cara menyusun n objek/unsur yang berbeda adalah n!
Contoh:
Banyak cara menyusun buku Matematika, IPA, IPS, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris = 5! karena banyak buku = n = 5.

Permutasi k dari n Unsur

Perhatikan kembali kasus tempat duduk pada uraian permutasi n unsur. Jika pada baris depan terdapat 4 tempat duduk, maka menurut aturan perkalian banyak cara 4 dari 20 siswa akan menempati tempat duduk baris depan adalah 20 × 19 × 18 × 17 atau dapat ditulis:
       Contoh di atas merupakan permutasi 4 dari 20 atau P(20,4) atau P204 atau 20P4 . Secara umum, ini dinyatakan sebagai permutasi k dari n unsur. Dengan demikian, banyak cara menyusun k unsur dari n unsur yang tersedia dengan memperhatikan urutan disebutpermutasi k dari n unsur yaitu:
 dengan k ≤ n

Permutasi Unsur yang Sama

Bagaimana jika terdapat unsur yang sama? Mari perhatikan ilustrasi berikut.
       Dari angka 1, 2, 1 akan disusun dengan urutan yang berbeda. Oleh karena ada dua angka 1, maka akan kita bedakan dengan memberi indeks yaitu 11 dan 12. Susunan yang dapat terbentuk adalah:
       Jika angka 1 diberi indeks maka banyak susunan yang terbentuk adalah 3! = 3 × 2 × 1 = 6 susunan, tetapi angka 11 dan 12 sebenarnya sama sehingga susunan yang terbentuk hanya 3 susunan yaitu 1, 2, 1; 1, 1, 2; dan 2, 1, 1. Susunan ini dapat dinyatakan sebagai 3×2×12×1=3!2!=3. Pada perhitungan tersebut, dua buah angka 1 diwakili oleh 2! dan total tiga buah angka diwakili 3!. Dengan demikian, jika dari sebanyak n unsur yang tersedia terdapatm1m2m3, ... unsur yang sama, maka banyak permutasi dapat ditentukan dengan:
dengan 

Permutasi Siklis (Melingkar)

Bagaimana jika susunan permutasi disajikan dalam bentuk melingkar? Mari perhatikan ilustrasi berikut.
       Misalkan ada 4 orang (ABC, dan D) yang akan duduk di sekeliling meja bundar, sehingga ada 6 susunan duduk yang mungkin seperti pada gambar di atas. Oleh karena lingkaran tidak mempunyai titik ujung maka haruslah ditetapkan 1 orang (unsur/objek) sebagai acuan. Pada gambar, A dijadikan sebagai acuan, sehingga posisi A tetap. Ini berarti, kita cukup menentukan banyak susunan duduk dari 3 orang lainnya dengan aturan perkalian. Jadi, banyak susunan duduk dari 4 orang (ABC, dan D) yang akan duduk melingkar yaitu (4 – 1)! = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 susunan.
       Permutasi seperti ini disebut permutasi siklis yaitu banyak cara n unsur dapat disusun secara melingkar adalah P = (n - 1)!