MATEMATIKA: DERET GEOMETRI

DERET GEOMETRI

Apa hubungan antara barisan geometri dan deret geometri? Jika

U_{1}, U_{2}, U_{3}, . . . U_{n}

adalah suku-suku barisan geometri, maka

U_{1} + U_{2} + U_{3} + . . . + U_{n}

disebut deret geometri. Jadi, suku-suku dari suatu deret geometri berasal dari barisan geometri. Misalnya, pada contoh di atas telah diketahui bahwa 1, 2, 4, 8, 16, … merupakan barisan geometri, maka 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … merupakan deret geometri. Dengan demikian diperoleh bentuk umum untuk deret geometri, yaitu:
$a + a r + {a r}^{2} + {a r}^{3} + . . .$

Dengan,
a = suku pertama
r= rasio atau perbandingan

Seperti deret aritmetika, untuk menentukan jumlah n suku suatu deret geometri akan sangat tidak efektif apabila kita menjumlahkan suku-sukunya satu persatu. Hal ini karena membutuhkan waktu yang lebih lama dan sering terjadi kesalahan. Untuk itu, dibutuhkan cara khusus untuk menghitung jumlah n suku pertama (

S_{n}

) suatu deret geometri. Ada dua rumus yang digunakan untuk menghitung

S_{n}

suatu deret geometri. Penggunaan rumus tersebut tergantung jenis deret geometrinya. Berikut diuraikan jenis-jenis deret geometri beserta rumus

S_{n}

yang digunakan.

Deret Naik

Rumus jumlah n suku pertamanya adalah,
$S_{n} = \frac{a (r^{n} - 1)}{(r - 1)}$ , untuk r > 1 dan r ≠ 1

Contoh Deret Naik
Deret geometri 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ...
Deret tersebut disebut deret naik karena nilai suku-sukunya semakin meningkat dengan r > 1. Perhatikan ilustrasi berikut.

Dari ilustrasi diperoleh bahwa,

U_{1} = a

= 1 dan

U_{2}

= 2.
Sehingga, dapat dicari nilai r

r = \frac{U_{n}}{U_{n - 1}} = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{2}{1}

Catatan: Kamu boleh memilih cara yang kamu anggap paling mudah untuk menentukan r, baik dengan cara ilustrasi maupun dengan rumus $r = \frac{U_{n}}{U_{n - 1}} = \frac{U_{2}}{U_{1}}$

Oleh karena nilai r = 2 yang artinya r > 1 maka gunakan rumus

S_{n}

untuk deret naik.

Misalkan kita akan menghitung jumlah 10 suku pertama (

S_{10}

) deret tersebut, maka ganti nilai a = 1, r = 2 dan n = 10 ke

S_{n}

. Sehingga,

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 1.023

Deret Turun

Rumus jumlah n suku pertamanya adalah,
$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{(1 - r)}$ , untuk r < 1 dan r ≠ 1

Contoh Deret Turun
Deret geometri 32 + 16 + 8 + 4 + ...
Deret tersebut disebut deret turun karena nilai suku-sukunya semakin menurun dengan r < 1. Perhatikan ilustrasi berikut.

Dari ilustrasi diperoleh bahwa,

U_{1} = a

= 32 dan

U_{2}

= 16.
Sehingga, dapat dicari nilai r

r = \frac{U_{n}}{U_{n - 1}} = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}

Catatan: Selain menggunakan ilustrasi, nilai r juga dapat ditentukan dengan, $r = \frac{U_{n}}{U_{n - 1}} = \frac{U_{2}}{U_{1}} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

Oleh karena nilai r =

\frac{1}{2}

yang artinya r < 1 maka gunakan rumus

S_{n}

untuk deret turun.

Misalkan kita akan menghitung jumlah 6 suku pertama (

S_{6}

) deret tersebut, maka ganti nilai a = 32, r =

\frac{1}{2}

dan n = 6 ke

S_{n}

. Sehingga,

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret tersebut adalah 63.

MATEMATIKA

DERET GEOMETRI

Author : Dan lajanto

Bagikan ini

MATEMATIKA

DERET GEOMETRI

Author : Dan lajanto

Bagikan ini

Related Posts