MATERI PEMBINAAN OLIMPIADE
Topik: Aritmetika Modulo (Sisa Bagi)
1. Konsep Dasar Aritmetika Modulo
Definisi:
Jika suatu bilangan a dibagi dengan bilangan positif m, maka:
a ≡ r (mod m)
artinya sisa pembagian a ÷ m adalah r, dengan 0 ≤ r < m
Contoh:
17 ≡ 2 (mod 5) karena 17 dibagi 5 sisanya 2
26 ≡ 1 (mod 5)
2. Sifat-sifat Penting Modulo
Jika a ≡ b (mod m) dan c ≡ d (mod m) , maka:
Penjumlahan:
a + c ≡ b + d (mod m)Pengurangan:
a −c ≡ b − d (mod m)Perkalian:
a ⋅ c ≡ b ⋅ d (mod m)Pemangkatan:
ak ≡ bk(mod m)
3. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Tentukan sisa dari 220 jika dibagi 5!
Pembahasan:
Gunakan pola modulo:
2¹ ≡ 2 (mod 5)
2² ≡ 4 (mod 5)
2³ ≡ 3 (mod 5)
2⁴ ≡ 1 (mod 5) → Pola: 2, 4, 3, 1 (ulang setiap 4)
20 bagi 4 sisa 0⇒ambil elemen ke-4 dari pola = 1 ⇒ 220 ≡ 1 (mod 5)
Jawaban: 1
Contoh 2: Tentukan sisa pembagian dari 1+2+3+⋯+100 jika dibagi 9!
Pembahasan:
Gunakan rumus jumlah:
(100⋅101)/2 = 5050
Gunakan digit sum (karena 9 punya sifat: a ≡ jumlah digit (mod 9)
Jumlah digit 5050 = 5 + 0 + 5 + 0 = 10
10 mod 9 = 1
Jawaban: 1
4. Latihan Mandiri
Berapa sisa dari 3100 jika dibagi 7?
Tentukan sisa dari 4¹²³ + 7⁴⁵⁶ mod 5
Jika a ≡ 2 (mod 3) dan b ≡ 1 (mod 3), tentukan ab mod 3
5. Tips Olimpiade
Gunakan pola berulang (pattern) untuk pemangkatan.
Jika modulo kecil (misal 2, 3, 4, 5), eksplor pola dengan cepat.
Untuk bilangan besar, gunakan modulo properties untuk menyederhanakan dulu.
Gunakan digit sum untuk modulo 9 dan 3.
0 komentar:
Post a Comment