Materi Pembinaan Olimpiade SMP – Topik:Keterbagian
1. Konsep Dasar Keterbagian
Definisi: Bilangan a habis membagi b (ditulis a ∣ b jika ada bilangan bulat k sehingga b = ak
Notasi: a ∣ b ⇒ b = ka
Sifat-sifat dasar:
Jika a ∣ b dan a ∣ c, maka a ∣ (b+c) dan a ∣ (b−c)
Jika a ∣ b, maka a ∣ bc untuk sembarang bilangan c
Jika a ∣ b dan b ∣ c, maka a ∣ c
2. Ciri-ciri Keterbagian (Khusus):
Bilangan | Ciri Keterbagian |
2 | Angka satuannya genap |
3 | Jumlah digit habis dibagi 3 |
4 | Dua digit terakhir habis dibagi 4 |
5 | Angka satuan 0 atau 5 |
6 | Habis dibagi 2 dan 3 |
8 | Tiga digit terakhir habis dibagi 8 |
9 | Jumlah digit habis dibagi 9 |
11 | Selisih jumlah digit ganjil dan genap habis dibagi 11 |
3. Contoh Soal dan Pembahasan
Contoh 1: Tentukan apakah 123456 habis dibagi 3 dan 9!
Pembahasan:
Jumlah digit: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
Karena 21 habis dibagi 3, maka 123456 habis dibagi 3
Tapi 21 tidak habis dibagi 9, jadi 123456 tidak habis dibagi 9
Contoh 2: Berapa banyak bilangan antara 100 dan 999 yang habis dibagi 11?
Pembahasan:
Cari kelipatan 11 terkecil ≥ 100 → 11×10 = 110
Cari kelipatan 11 terbesar ≤ 999 → 11×90 = 990
Banyaknya: (990−110)/11 + 1 = 81
Contoh 3: Misalkan a,b,ca, b, c adalah bilangan bulat positif. Jika a ∣ b dan b ∣ c, tunjukkan bahwa a ∣ c.
Pembahasan:
Karena a ∣ b, maka b = ak untuk suatu bilangan bulat k
Karena b ∣ c, maka c = b⋅m = akm
Maka c = a⋅(km)⇒a ∣ c
Contoh 4: Cari tiga bilangan berurutan yang jumlahnya habis dibagi 3.
Pembahasan:
Misalkan tiga bilangan berurutan: n−1, n, n+1
Jumlah: (n−1) + n + (n+1) = 3n
Maka selalu habis dibagi 3 berapapun nilai n
4. Latihan Mandiri
Latihan 1: Tentukan banyak bilangan antara 1 dan 1000 yang:
Habis dibagi 3 tetapi tidak oleh 6
Habis dibagi 4 dan 5 sekaligus
Latihan 2: Jika a∣b dan b∣a, tunjukkan bahwa a=±b
Latihan 3: Berapakah bilangan terkecil yang bersisa 1 jika dibagi 2, bersisa 2 jika dibagi 3, dan bersisa 3 jika dibagi 4?
0 komentar:
Post a Comment