Tuesday, March 1, 2016

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 19

Soal

Diberikan empat titik pada satu lingkaran Ϝ dalam urutan A, B, C, D. Sinar garis AB dan DC berpotongan di E, dan sinar garis AD dan BC berpotongan di F. Misalkan EP dan FQ menyinggung lingkaran Ϝ berturut-turut di P dan Q. Misalkan pula bahwa EP = 60 dan FQ = 63, maka panjang EF adalah ...

Pembahasan

Misalkan lingkaran luar segitiga EBC memotong sisi EF di M.

Garis FQ menyinggung lingkaran di Q dengan titik B dan C terletak pada lingkaran maka 

sesuai dalil secan tangen didapat

FQ^2 = FC . FB

EBMC adalah segiempat talibusur maka

FC . FB = FM . FE

Dari kedua persamaan didapat

FQ^2 = FM . FE ......... (1)

Misalkan sudut ABC = x maka sudut ADC = 180o - x sehingga sudut CDF = x

Jelas bahwa sudut EBC = 180o - x dan karena EBCM adalah segiempat talibusur maka sudut 

EMC = x.

Maka sudut CMF = 180o -x

Karena sudut CDF + sudut CMF = x + 180o -x = 180o maka MCDF adalah juga segiempat 

talibusur.

Dengan cara yang sama dengan sebelumnya didapat

EP^2 = EC . ED = EM . EF .................. (2)

Maka

EP^2 + FQ^2 = EM . EF + FM . FE = EF . (EM + MF) = EF^2

EF^2 = 60^2 + 63^2 = 87^2

Jadi, panjang EF adalah 87.

No comments:

Post a Comment