Tuesday, March 1, 2016

SOAL DAN PEMBAHASAN OSK MATEMATIKA SMA 2016 NO 20

Soal

Pada sebuah bidang datar, terdapat 16 garis berbeda dan n titik potong berbeda. Nilai maksimal n sehingga dapat dipastikan terdapat 3 kelompok garis yang masing-masing memuat garis-garis berbeda yang saling sejajar adalah ....

Pembahasan

Jika dua garis tidak saling sejajar maka akan ada 1 titik potong.

Jika ada tiga garis yang tidak ada yang sejajar serta tidak berpotongan di satu titik maka 

banyaknya titik potong ada 3, yaitu garis ketiga akan memotong dua garis lainnya masing-

masing di satu titik untuk menambah satu titik dari dua garis pertama.

Jika ada 4 garis yang tidak saling sejajar maka banyaknya titik potong maksimal yang bisa 

dibuat adalah 1 + 2 + 3 = 6.

Sehingga jika ada n garis yang tidak saling sejajar maka banyaknya titik potong maksimal 

yang bisa dibuat adalah 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) = n(n-1)/2.

Jika ada tepat 2 garis sejajar maka banyaknya titik potong maksimal akan berkurang 1 sebab 

kedua garis sejajar tersebut tidak saling memotong. Jika ada tepat 3 garis saling sejajar 

maka 

banyaknya titik potong maksimal akan berkurang 3 sebab garis pertama tidak mungkin 

memotong garis 2 dan 3 serta garis 2 tidak memotong garis 3 dan seterusnya.

Jika ada tepat 3 garis yang berpotongan di satu titik maka banyaknya titik potong maksimal 

akan berkurang 2 sebab ketiga garis tersebut hanya menghasilkan satu titik potong dari 

seharusnya 3. Jika ada tepat 4 garis yang berpotongan di satu titik maka banyaknya titik 

potong maksimal akan berkurang 5 sebab keempat garis tersebut hanya menghasilkan satu 

titik potong dari seharusnya 6.

Jika ada 16 garis, maka maksimal titik potong yang bisa dibuat = 16x15/2 = 120. Jika tepat 3 

garis dari 16 garis yang saling sejajar maka banyaknya titik potong = 120 - 3 = 117

No comments:

Post a Comment